MagicNumber
KJ님의 블로그의 글 http://koreanjurist.com/index... 에서 90년대 후반에 잠시 이 바닥 에서 유행했던 문제를 발견하고 잠깐 기억을 되살려 봅니다. 당시에는 "술탄의 공주"와 결혼하는 것인 수수께끼로 제시되어서 소위 술탄의 딸들 문제라 불리우던 것이었습니다.
내용은 이렇습니다. 100명의 상대와 맞선을 본다고 할 때, 가장 좋은 상대와 결혼하려면 어떻게 해야 하는가 하는 것입니다. 물론 맞선은 냉혹한 법이므로 한 번 퇴짜를 놓은 상대를 돌이켜 "인제 생각해보니까 당신만한 사람도 없어요. 결혼합시다." 이것만은 절대 불가능하다는 제한이 있습니다.
이 경우에, 37명의 상대를 일단 시험삼아 만나보고, 나머지 63명의 상대를 차례로 만나보면서 이때까지 만난 37명의 사람보다 더 나은 사람이 나타났을 경우 바로 그 사람을 붙잡아 결혼하는 것 이 가장 확률적으로 유리하다는 것입니다.
더 많이 만나면 시험삼아 만나보는 동안 정말 좋은 상대를 놓칠 수가 있고, 더 적게 만나보면 별로 괜찮은 사람들을 못만나 지나치게 눈이 낮아 지니 37명이 딱 이상적이라는 겁니다.
이 문제는 미래를 알 수 없는 상황에서 샘플 추출 자체가 위험한 일일 때, 어느 정도의 샘플을 추출해서 살펴보는 것이 가장 유리한가 하는 광범위한 문제가 됩니다. 당연히 전통적인 근사치 계산문제, 확률 문제이기도 합니다. 그래서 global optimum 과 local optimum 에 관계된 모든 화학, 물리, 공학 제반 문제와 다양한 Marketing 관련 통계에서 유용하게 응용됩니다.
우선 답을 x 로 둡시다. 즉 우리는 x명을 시험삼아 만나보고 나머지 중에서 결혼상대를 택하는 방법을 사용한다고 가정합니다.
x 번 이전에 최고의 결혼상대가 있다면, 우리는 망합니다. 결혼상대 잘 택할 확률 0.
x+1 번째에 최고의 결혼상대가 있고(a), 우리가 선택할 사람이 최고의 상대가 나오기 전에는 안 나와서(b) 결혼상대를 잘 택할 확률은, a=1/100, b=x/x 이므로 (1/100)*(x/x)
x+2 번째에 최고의 결혼상대가 있고, 우리가 선택할 사람이 최고의 상대가 나오기 전에는 안나와서 결혼상대를 잘 택할 확률은 마찬가지로 (1/100)*(x/(x+1))
이런 식으로 해서...
100번째에 최고의 결혼 상대가 있고, 우리가 선택할 사람이 최고의 상대가 나오기 전에는 안나와서 결혼상대를 잘 택할 확률은 (1/100)*(x/99)
이상의 모든 경우를 더하면, x명을 시험삼아 만나보고 나머지 중에서 결혼 상대를 택하는 경우 성공을 거둘 확률을 구할 수 있습니다. 즉, 이 확률이 최대가 되는 x를 구하면 되는 것입니다. 미분/차분 수법으로 해를 구하는 방법이 언뜻 떠오르지 않으신다면, 그냥 x가 1일때부터, 100일때까지 다 구해보고 가장 확률이 큰 x를 고르면 될 겁니다.
37일때가 가장 크고, 이 때의 확률은 37%의 적중률을 갖게 됩니다.
따라서 근사적으로, 5명 정도를 맞선 본 뒤에 그 다섯명을 기준으로 장차 그 보다 더 좋은 사람이 걸리면 결혼하는 것이 유리하다는 추정을 할 수 있습니다. 비슷하게, 2.4회의 연애를 해 본 뒤에, 그 때까지 만나본 여자친구/남자친구보다 더 그럴듯한 애인을 만나면 청혼하는 것이 결혼전략으로 유리합니다.
마찬가지로 회사에서 사람을 뽑는데, 지원자를 최대 1000명까지 받게했다면, 368명 정도를 면접본 뒤에, 그 368명의 사람들 보다 더 좋은 지원자가 나타나는 순간 그 사람을 채용하는 것이 가장 유리합니다. 너무일찍 채용하면 더 좋은 인재가 뒤늦게 나타날 수가 있고, 너무 늦게 채용하려하면, 예전에 지나친 꽤 괜찮은 인재가 이미 다른 회사로 넘어가버린 뒤일 수 있습니다.
(마지막 변경 UNIX clock : 1150964528 / Common clock 2006.06.22, 5:22 pm )
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내용은 이렇습니다. 100명의 상대와 맞선을 본다고 할 때, 가장 좋은 상대와 결혼하려면 어떻게 해야 하는가 하는 것입니다. 물론 맞선은 냉혹한 법이므로 한 번 퇴짜를 놓은 상대를 돌이켜 "인제 생각해보니까 당신만한 사람도 없어요. 결혼합시다." 이것만은 절대 불가능하다는 제한이 있습니다.
이 경우에, 37명의 상대를 일단 시험삼아 만나보고, 나머지 63명의 상대를 차례로 만나보면서 이때까지 만난 37명의 사람보다 더 나은 사람이 나타났을 경우 바로 그 사람을 붙잡아 결혼하는 것 이 가장 확률적으로 유리하다는 것입니다.
더 많이 만나면 시험삼아 만나보는 동안 정말 좋은 상대를 놓칠 수가 있고, 더 적게 만나보면 별로 괜찮은 사람들을 못만나 지나치게 눈이 낮아 지니 37명이 딱 이상적이라는 겁니다.
이 문제는 미래를 알 수 없는 상황에서 샘플 추출 자체가 위험한 일일 때, 어느 정도의 샘플을 추출해서 살펴보는 것이 가장 유리한가 하는 광범위한 문제가 됩니다. 당연히 전통적인 근사치 계산문제, 확률 문제이기도 합니다. 그래서 global optimum 과 local optimum 에 관계된 모든 화학, 물리, 공학 제반 문제와 다양한 Marketing 관련 통계에서 유용하게 응용됩니다.
왜?
그렇다면, 도대체 이 문제의 37명 이라는 숫자는 어떻게 나온 것이냐, 하면. 그 역시 별로 어렵지 않은 고등학교 계산 방법으로 설명할 수 있습니다.우선 답을 x 로 둡시다. 즉 우리는 x명을 시험삼아 만나보고 나머지 중에서 결혼상대를 택하는 방법을 사용한다고 가정합니다.
x 번 이전에 최고의 결혼상대가 있다면, 우리는 망합니다. 결혼상대 잘 택할 확률 0.
x+1 번째에 최고의 결혼상대가 있고(a), 우리가 선택할 사람이 최고의 상대가 나오기 전에는 안 나와서(b) 결혼상대를 잘 택할 확률은, a=1/100, b=x/x 이므로 (1/100)*(x/x)
x+2 번째에 최고의 결혼상대가 있고, 우리가 선택할 사람이 최고의 상대가 나오기 전에는 안나와서 결혼상대를 잘 택할 확률은 마찬가지로 (1/100)*(x/(x+1))
이런 식으로 해서...
100번째에 최고의 결혼 상대가 있고, 우리가 선택할 사람이 최고의 상대가 나오기 전에는 안나와서 결혼상대를 잘 택할 확률은 (1/100)*(x/99)
이상의 모든 경우를 더하면, x명을 시험삼아 만나보고 나머지 중에서 결혼 상대를 택하는 경우 성공을 거둘 확률을 구할 수 있습니다. 즉, 이 확률이 최대가 되는 x를 구하면 되는 것입니다. 미분/차분 수법으로 해를 구하는 방법이 언뜻 떠오르지 않으신다면, 그냥 x가 1일때부터, 100일때까지 다 구해보고 가장 확률이 큰 x를 고르면 될 겁니다.
37일때가 가장 크고, 이 때의 확률은 37%의 적중률을 갖게 됩니다.
변형과 적용
술탄의 딸들 문제는 여러가지 변형 문제가 많습니다. 어쨌거나, 37% 라는 문제의 숫자를 뒤집어 생각하면, 대한민국 사람들은 평균 10회 정도의 맞선을 봐서 결혼한다는 통계 http://wef.joins.com/weddingi... 가 있습니다.따라서 근사적으로, 5명 정도를 맞선 본 뒤에 그 다섯명을 기준으로 장차 그 보다 더 좋은 사람이 걸리면 결혼하는 것이 유리하다는 추정을 할 수 있습니다. 비슷하게, 2.4회의 연애를 해 본 뒤에, 그 때까지 만나본 여자친구/남자친구보다 더 그럴듯한 애인을 만나면 청혼하는 것이 결혼전략으로 유리합니다.
마찬가지로 회사에서 사람을 뽑는데, 지원자를 최대 1000명까지 받게했다면, 368명 정도를 면접본 뒤에, 그 368명의 사람들 보다 더 좋은 지원자가 나타나는 순간 그 사람을 채용하는 것이 가장 유리합니다. 너무일찍 채용하면 더 좋은 인재가 뒤늦게 나타날 수가 있고, 너무 늦게 채용하려하면, 예전에 지나친 꽤 괜찮은 인재가 이미 다른 회사로 넘어가버린 뒤일 수 있습니다.
(마지막 변경 UNIX clock : 1150964528 / Common clock 2006.06.22, 5:22 pm )
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